Ode aan de logaritme – A woven web of guesses

Al in de middelbare schoolwiskunde, althans op het VWO, wordt de logaritme onderwezen. In het examenbesluit staat onder het kopje Standaardfuncties: De kandidaat kan grafieken tekenen en herkennen van de volgende standaardfuncties: machtsfuncties met rationale exponenten, exponentiële functies, logaritmische functies, goniometrische functies en de absolute-waardefunctie en kan van deze verschillende typen functies de karakteristieke eigenschappen benoemen en gebruiken.

De logaritme is dus een ‘gewone’ functie onder de standaardfuncties geworden. Sommige van die genoemde karakteristieke eigenschappen van de logaritmische functie verdienen het om hier speciale aandacht te krijgen. Ze zijn specifiek van belang voor andere berichten op deze website, zoals deze, over surprise. Bij bepaalde sleutelelementen in de ontwikkeling van AI en informatietheorie wordt de term logaritme gebruikt, ook als het om specifieke onderliggende eigenschappen gaat – een totum pro parte zou je kunnen zeggen. Daarom hier een kort overzicht van de belangrijkste eigenschappen.

Definitie van logaritme

We hebben het over $f(x)=log(x)$ . Vaak ook geschreven als $f(x)=log_g(x)$ waarbij $g$ het zogenoemde grondtal (ook wel: basis) is. Dat heeft te maken met de definitie van de logaritmische functie als inverse van de exponentiële functie. De logaritme van $x$ is de macht waartoe je grondtal $g$ moet verheffen om uitkomst $x$ te krijgen. In formule: $g^{log_g(x)}=x$ .

Met getallen: $log_{10}(1000)=3$ omdat $1000=10^3$ . Of $log_2(32)=5$ omdat $32=2^5$ .
Het grondtal achter log wordt meestal weggelaten als het er niet toe doet, of uit de context duidelijk is wat bedoeld wordt.

Rekenregels

Rekenen met logaritmen wordt bepaald door de eigenschappen van exponenten.

$log(x)$ bestaat voor alle $x>0$
$log(1)=0$ omdat voor elk grondtal g geldt: $g^0=1$
$log_g(g)=1$ omdat $g^1=g$
$log(ab)=log(a) + log(b)$ omdat $a=g^{log(a)}$ en $b=g^{log(b)$ dus $ab={g^{log(a)}}*{g^{log(b)}}=g^{log(a)+log(b)}$
$log({s^n})=nlog(s)$ omdat $s^n=s*s*s*s*s$ … en $nlog(s)=log(s)+log(s)+log(s)+log(s)+log(s)$ …
$log(\frac{1}{x})=-log(x)$ omdat $\frac{1}{x}=x^{-1}$
$log(\frac{a}{b})=log(a)-log(b)$

Natuurlijke logaritme

Alle machtsfuncties van x hebben een direct afleidbare primitieve functie, dat is de functie waaruit je door te differentiëren de oorspronkelijke functie terugkrijgt. De primitieve functie van $x$ is $\frac{1}{2}x^2$ , van $x^3$ is dat $\frac{1}{4}x^4}$ , enzovoort.
In het algemeen dus van $x^n$ is het $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ .
Ik ga het hier niet verder uitwerken, maar de primitieve functie is direct gerelateerd aan de oppervlakte van segmenten ‘onder’ de grafiek van de machtsfunctie (tot aan de x-as zeg maar)

De rekenregel gaat niet op voor $x^{-1}$ ofwel $\frac{1}{x}$ , omdat voor $n=-1$ de waarde $\frac{1}{n+1}$ niet gedefinieerd is.

Wel kun je iets zeggen over de oppervlakte onder de grafiek van $\frac{1}{x}$ , de hyperbolische functie. Als je die oppervlakte, gerekend vanaf $x=1$ opvat als een functie van $x$ dan kun je laten zien dat die functie aan alle regels van een logaritmische functie voldoet. Mercator heeft dat gedaan in 1667, en hij stelde voor voor die functie de term natuurlijke logaritme te gebruiken.

Wat zou dan het grondtal van de natuurlijke logaritme moeten zijn? Als je naar de rekenregels kijkt moet dat een coördinaat op de x-as zijn, waarvoor geldt dat de oppervlakte onder de grafiek van $\frac{1}{x}$ gelijk is aan $1$ .

Die coördinaat bestaat, het is $g$ in de grafiek.
De waarde van $g$ is bij benadering $2,718282$ ….

Later heeft Euler voorgesteld om dit grondtal e te noemen.

De natuurlijke logaritme wordt ook wel geschreven als $ln(x)$ , dat is dus hetzelfde als $log_e(x)$ .

De afgeleide functie die je krijgt door $ln(x)$ te differentiëren is $\frac{1}{x}$ .

Waarom de logaritme zo handig is

Bij de rekenregels hierboven staat: $log(ab)=log(a)+log(b)$ en $log(\frac{a}{b})=log(a)-log(b)$

Letterlijk kun je met behulp van logaritmen van een vermenigvuldiging dus een optelling maken (net zo wordt delen aftrekken). Dit is een niet te onderschatten vereenvoudiging bij het maken van complexe berekeningen met grote getallen (of getallen met veel decimalen). In de 17e eeuw, toen de logaritme voor het eerst werd toegepast, waren zulke berekeningen van levensbelang in de navigatie op zee.

Eind jaren 60 van de vorige eeuw waren rekenmachines en computers nog niet alom beschikbaar. Op de middelbare school en in de eerste jaren van mijn studie was het werken met de rekenliniaal zeer gangbaar, op de foto staat mijn oude exemplaar.

De rekenliniaal is de fysieke uitvoering van het vervangen van een vermenigvuldigingsbewerking door een optelling, in dit geval van de lengte van segmenten op de onderdelen van de liniaal. Ingesteld is een vermenigvuldiging met 1,7 – onder de haarlijn lees je af dat 1,7 x 2 = 3,4.

Surprise

Dit bericht over de bijzonderheid van de logaritme heb ik gemaakt omdat bij de introductie van het concept surprise opeens de negatieve logaritme te voorschijn kwam. In het concrete voorbeeld was de formule $S(sprong) = - ln(P(sprong))$ . In deze context wil ik daarom nog een eigenschap van de logaritme voor het voetlicht halen.

De logaritme van getallen tussen 0 en 1 is negatief. $log(1)=0$ , de logaritme van alles onder de 1 heeft een negatieve waarde. Bij breuken zie je gemakkelijk waarom. Bijvoorbeeld $log(\frac{1}{5})=log(5^{-1})=-log(5)$ . In het algemeen geldt $log(\frac{1}{x})=-log(x)$ .

Naarmate de $\frac{1}{x}$ kleiner wordt, wordt de $-log(x)$ groter.

In de context van AI gaat het vaak over kansverdelingen, de betreffende kanswaarden liggen altijd tussen 0 en 1.

Bij surprise betreft het doorgaans een gebeurtenis met een heel kleine kans, de negatieve logaritme ervan die de verrassing over de gebeurtenis uitdrukt is dan een heel groot getal. Dat is in elk geval een bij de intuïtie passend gegeven.

Definitie van logaritme

Rekenregels

Natuurlijke logaritme

Waarom de logaritme zo handig is

Surprise

Geef een reactieReactie annuleren